前言
上個月中，信堅到曼哈頓 (Manhattan) 含飴弄孫，順便過感恩節。孫子紘燁先生，剛上小學四年級。帶回了幾題學校的算術作業，也順便考考阿公。(只能用算數，不准用代數。因為小學生還沒學代數。)

這可把阿公考倒了。因為我們在小學裡沒有學到如何解這種算數問題。才知算術是活的，不是死的數字。大家可以考考自己或自己的小孩，測試一下大家的算術能力。

一、三條小學四年級的算術問題
1. Amy began with 5 marbles for every 3 marbles that Tara had. After Amy gave 1 marble to Tara, then 3 time Tera had is equal to twice Amy had. How many marbles did Amy begin with?
如果Tara每擁有三顆彈珠，Amy 就擁有五顆彈珠。當Amy 給 Tara 一顆彈珠之後，Amy 所擁有彈珠的兩倍，就等於Tara 所擁有的三倍。請問，Amy 剛開始擁有幾顆彈珠?

2. Mr. Jackson was born on January 1, 1978. His daughter Leah was born on January 1, 2000. In what year was Mr. Jackson exactly three times as old as Leah?
傑克森先生出生於 1978年一月一日。 她的女兒莉亞出生於 2000年一月一日。問: 在何時傑克森的歲數是 Leah 的三倍?

3. If the Mother’s age is daughter’s age in reverse, and 13 years later, the mother’s age is twice of that of the daughter. What is the daughter’s age now?
如果媽媽的年紀是女兒歲數的位數顛倒，13年後，媽媽的年紀是女兒的兩倍，問: 現在女兒是幾歲?

二、列表解答法
工欲善其事，必先利其器。解決上面三個問題，如果不能用代數，則須要有適當的工具或方法。這就是所謂 “列表法”。列表法在小學數學學科應用非常廣泛，特別是解決實際問題（應用題），因為列表法簡潔、易懂,量與量之間的關係又很明確，便於學生解答如上所述的實際問題。列表法清晰明了，便於分析比較、提示規律，也有利於記憶。這方法將來可應用於會計、工程設計、科學各方面。

第一題解答:
Tara     3     6      9     12    15  
 Amy    5    10    15    20    25  

2 x (5-1) ≠ 3 x (3 + 1),       即 8 ≠ 12
2 x (10 -1) ≠ 3 x (6 + 1) ,   即 18 ≠ 21
2 x (15 -1) ≠ 3 x (9+ 1),     即 28 ≠ 30
2 x (20 – 1) ≠ 3 x (12 + 1),  即 38 ≠ 39
2 x (25 – 1) = 3 x (15 + 1),  即 48 = 48

所以答案是Amy剛開始擁有25顆彈珠。

第二題解答:
Leah       1    2  …  9    10    11  
Jackson   22   23 …   31   32    33
因此答案是Leah 出生11 年後，即2011年一月一日 。

第三題解答:
女兒年紀:    11   12    13   14
母親年紀:    11   21    31   41

很顯然 11, 12 不是答案。
2 x (13+13) ≠ 31 + 13, 即 52 ≠ 44
2 x (14+13) = 41+ 13,  即 54 = 54
===> 因此，女兒是14 歲, 媽媽是 41 歲。

三、代數解答法

第一題解答:
假設Tara 剛開始擁有3x的彈珠。則Amy 應擁有5x 的彈珠。因此，依提所得的代數方程式是: 3 ( 3x+1) = 2 (5x-1)  ==>  x = 5.
因此，Amy 剛開始擁有5×5=25顆彈珠。

第二題解答:
當Leah 是 x 歲時， Mr. Jackson 是 22+x 歲，因此代數方程式是:
3x = 22 + x  ==>  x =11.

答案是11 年後，即2011年一月一日 。 (2000+11 = 2011).

第三題解答:
假設女兒的年紀是10x + y, 則母親的年紀是 10y+x.
13 年後, 10y+x+13 = 2 (10x+y+13)    ==>    8y = 19x+ 13.
因x 及y 必須是單位正整數 (小於10), 唯一的解答是 x= 1, and y =4.

==> 因此，女兒的年紀是10×1+4 = 14 歲, 媽媽的年紀是 10×4+1=41 歲。

[信堅註: 8y=19x+13 的解法是先將此方程式改寫為 y=[16x+8+3x+5)]/8
=> y=2x+1+[(3x+5)/8] ==> 3x+5=8, or x=1. ==> y=4.]

四、列表解答法答應用之一: 韓信點兵
相傳漢高祖劉邦有天趁喝酒的時候問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每 3人一列餘1人、4人一列餘2人、5人一 列餘4人。劉邦與張良都算不出來， 所以劉邦暫時不敢動手。若假設已知人數將近一萬, 問韓信究竟統御多少兵呢?

列表解答:
3n₁+1     4     7   10  13   16   19   22   25   28   31   34   37   40
4n₂+2     6    10  14  18   22   26   30   34   38   42
5n₃+4      9   14  19   24   29   34   39   44

因3x4x5=60， 所有60的倍數加上 34 都是答案的候選數值，如 60+34=94， 60×12+34 = 754, 等等。因 10000÷60 = 166×60 +40 ==> 所以 60×166+34 = 9994 是最接近一萬的數值。因此，韓信統領 9994 名兵士。

五、列表解答法答應用之二: 雞兔同籠問題
雞兔同籠問題是一類中國古代著名的算術問題，最早可以追溯至南北朝時期的數學著作《孫子算經》。

問題的原文: 今有雞、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雞、兔各幾何？ 用白話文，就是說：「同一籠子裡裝有雞和兔子。從上面數一共有三十五個頭，從下面數一共有九十四隻腳，問一共有多少隻雞、多少隻兔子？」

雞   兔   腳
35   0    70
34   1    72    每增加一隻兔子，就多兩隻腳
33   2    74    因此要達到 94 隻腳，須要 (94-70)/2 = 12隻兔子
…
23   10   90
24   11   92
25   12   94    正確答案

[註: 代數算法: 假設雞有X隻，兔有Y 隻，則 X+Y=35，2X+4Y = 94 ==> X = 23, Y = 12]

六、列表解答法答應用之三: 喝汽水的算數問題
阿公被 紘燁先生 考得唏哩呼魯，心有不甘，因此出了一個喝汽水的算數問 題並附獎金 $10. 想想這一定可把紘燁先生考倒。

問題: You have $16, and you can buy a coke for $2 each. For two empty bottles, you can exchange for a bottle of coke. And for four caps, you can also exchange for a coke. What are the total numbers of cokes that you can drink?
如果你有 $16, 每 $2 可買一瓶可樂。 每兩個空瓶 可換一瓶可樂，每四個瓶蓋 可換一瓶可樂。問: 你總共可喝幾瓶可樂?

不料，紘燁先生於五分鐘內，用列表解答如下。

汽水   空瓶換汽水   瓶蓋換汽水   剩下空瓶    剩下瓶蓋
8              4                   2                  0                 0
6              3                   1                  0                 2
4              2                   1                  0                 2
3              1                   1                  1                 1
2              1                   0                  1                 3
1              1                   1                  0                 0
2              1                   0                  0                 2
1               0                  0                  1                 3
_________________________________________________________
27                                                      1                 3

得到答案是 27瓶。[通用公式是 4n–5. n是剛開始買的瓶數。]

這方法跟信堅園地的列表解答相似(請看 “喝汽水算術問題的圓滿解答及啟示” 一文)，但多了兩行，可能是依他的小腦筋的計算方式設定。相當難能可貴。

汽水      空瓶       瓶蓋
8              8             8
4+2        0+6         0+6
3+1        0+4         2+4
2+1        0+3         2+3
1+1        1+2         1+2
1+0        1+1          3+1
1+1        0+2          0+2
1+0        0+1          2+1
____________________
27            1               3

[信堅註: 繼續此問題，是量子力學所謂真空波動 (vacuum fluctuation) : 由於真空波動，會暫時產生正負數值 (正負粒子)。因此，繼上答案，可再繼續算下去:

27          (-5+5)+1        (-5+5)+3
3+2         -5+5                -5+5
________________________
32               0                    0

因此，總共可喝 32瓶汽水。沒剩下空瓶或瓶蓋。]